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Miércoles, 22 de noviembre de 2017 Actualizado a las 12:01

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Predicción del 19N: un problema matemático en que no existe la fórmula perfecta

por 14 noviembre, 2017

Predicción del 19N: un problema matemático en que no existe la fórmula perfecta
Más allá de los numerosos problemas de la democracia en nuestros días, definir un buen método de elección es más complicado de lo que parece. Las matemáticas nos dicen que no siempre el sistema más intuitivo es el mejor. También, que el método perfecto simplemente no existe, por ello es que nos queda el arduo trabajo de mejorar los métodos de los que disponemos con educación, ciencia y participación ciudadana.

Para llevar a cabo las elecciones presidenciales, una red informática recopila las preferencias, costumbres y otras características de cada uno de los votantes. Con estos datos determina quién de ellos representa mejor al ciudadano promedio, el que tendrá la tarea de designar al siguiente Presidente, basándose en nada más que sus propias convicciones. Su elección representa a la que harían sus compatriotas y, por tanto, este método de elección es más democrático, confiable y barato que ningún otro. Lo anterior ocurre en el 2008, pero en el universo de la ficción: es el argumento del relato “Franchise” (traducido como “Sufragio universal”), escrito en 1952 por Isaac Asimov. El sistema informático es nada menos que la red Multivac, asombrosa anticipación de Asimov a la internet de hoy.

En la realidad de nuestros días, si bien no sabemos exactamente cuáles de nuestros datos privados poseen Facebook y Google, lo cierto es que elegir entre varias opciones no suele ser una tarea fácil. Pero definir el método en que un grupo de electores elegirá una opción no es nada trivial, si queremos que la elección sea democrática.

Vamos por partes. El método más sencillo es el del voto de pluralidad: de entre una lista de candidatos cada votante elige uno de ellos y se declara vencedor a quien obtenga el mayor número de votos. Esta es el concepto más básico de una elección y así son elegidos los presidentes en muchos países.

Pero para que un método de elección sea verdaderamente democrático, hay que exigir algunos criterios. El primero de ellos es que el ganador de la elección haya sido elegido por la mayoría de los votantes. Es claro que esto puede no ocurrir en una elección por voto de pluralidad. Para fijar ideas pensemos en una elección entre tres candidatos, A, B y C, en la  que se obtengan los siguientes resultados:

A obtiene 40%,

B obtiene 35%, y

C obtiene 25%

En este caso, A ganaría sin tener la mayoría, y bien puede ocurrir que los votantes de B y C prefieran a cualquiera de ellos dos antes que al candidato A.

Por supuesto que la segunda vuelta, usada en las elecciones presidenciales de Chile y muchos otros países, resuelve este primer problema. En nuestro ejemplo, en la segunda vuelta competirían A y B. Suponiendo que los votantes de C prefieren todos al candidato B como segunda opción, este ganaría la elección con un 60%.

Hasta aquí todo bien. Pero ¿podemos decir que B es el candidato preferido ante cualquier otro? Estamos hablando de un segundo criterio, que sorprendentemente el ganador de la segunda vuelta no siempre lo cumple. Pudiera ser que en nuestro ejemplo todos los votantes de A tengan una preferencia por el candidato C antes que por B. Así, en una hipotética contienda que enfrentara a los candidatos B y C, el primero obtendría el 35% original, mientras que C obtendría 65% (el 25% de sus votantes más el 40% del candidato A). Es decir, el candidato C sería preferido sobre el ganador de la segunda vuelta. ¡Sorpresa!

Estas situaciones han sido estudiadas por matemáticos, economistas y otros científicos desde hace tiempo. El caso anterior es un ejemplo sencillo, donde el ganador de la segunda vuelta no cumple el criterio de Condorcet (por Nicolás de Condorcet, matemático francés del siglo XIX), que es justamente nuestro segundo criterio: el ganador debe tener preferencia sobre cada uno de los otros candidatos.

En el siglo XIX, el matemático Charles Dougson (conocido como Lewis Carroll, autor de las populares aventuras de Alicia), propuso un ingenioso método para elegir a un ganador aun cuando no se cumpla la transitividad. En palabras simples, el método de Dougson define como ganador al candidato que se transforme en ganador de Condorcet bajo un menor número de cambios en las preferencias de los electores. Sin embargo, no se trata de un método muy práctico, pues resulta costoso computacionalmente (de hecho, es NP-complejo, una categoría usada en el área de complejidad computacional para designar a problemas de difícil cálculo). En todo caso, para un universo de electores no tan grande puede ser calculado sin problemas.

Por cierto, en la práctica se podría ampliar el método usual de las elecciones y pedir, desde la primera vuelta, que cada votante indique no solo su candidato favorito sino que ordene a todos los candidatos según su preferencia. De esta manera se podría calcular el resultado de una segunda vuelta (e incluso una tercera, cuarta y demás), aun sin organizar otra elección real. Este método, conocido como segunda vuelta automática, es mucho más barato y ha sido usado en elecciones presidenciales de Irlanda y para elegir el Parlamento en Australia, entre otras ocasiones.

Pero incluso si se registra el orden de preferencia de todos los electores, puede ocurrir que simplemente no exista un ganador de Condorcet, lo que corresponde a que no se cumpla la transitividad, otro de los criterios que resulta natural pedir a una elección. Este exige que, si C gana a B y este gana a A, entonces C debe ganar a A. En nuestro ejemplo  puede no ocurrir, dependiendo de la segunda preferencia de los votantes del candidato B. Se deja al lector examinar esta situación, considerando varios ejemplos. ¡La elección se puede convertir en un juego de piedra, papel o tijera! (piedra le gana a tijera, que le gana a papel, que a su vez le gana a piedra).

En el siglo XIX, el matemático Charles Dougson (conocido como Lewis Carroll, autor de las populares aventuras de Alicia), propuso un ingenioso método para elegir un ganador aun cuando no se cumpla la transitividad. En palabras simples, el método de Dougson define como ganador al candidato que se transforme en ganador de Condorcet bajo un menor número de cambios en las preferencias de los electores. Sin embargo, no se trata de un método muy práctico, pues resulta costoso computacionalmente (de hecho, es NP-complejo, una categoría usada en el área de complejidad computacional para designar a problemas de difícil cálculo). En todo caso, para un universo de electores no tan grande puede ser calculado sin problemas.

Además de otros métodos de elección estudiados en la literatura, también se ha demostrado que no existe la solución ideal: el Teorema de imposibilidad de Arrow (por Kenneth Arrow, economista que en 1972 recibiera el Premio Nobel), establece que en una elección con tres o más opciones no existe método alguno que cumpla una serie de criterios racionales, condiciones más o menos tan básicas como las que hemos mencionado aquí. Simplemente no hay manera de elegir de manera matemáticamente justa. Este resultado fue extendido por Amartya Sen (economista indio, Premio Nobel de Economía de 1988) en lo que se conoce como paradoja liberal.

No sabemos si algún día existirá capacidad técnica para aplicar el método de Dougson u otro similar a elecciones a gran escala, tampoco si existirá alguna Multivac que pueda automatizar las elecciones como en el cuento de Asimov. Además, más allá de los problemas técnicos, sabemos que hay múltiples factores que afectan a las elecciones reales, como el acceso a la información, la influencia de los medios masivos de comunicación y muchos más. Pero mientras no vivamos en el país de las maravillas y aunque sepamos que no existe un sistema perfecto, nos queda el arduo trabajo de mejorar los métodos de los que disponemos con educación, ciencia y participación ciudadana.

  • El contenido vertido en esta columna de opinión es de exclusiva responsabilidad de su autor, y no refleja necesariamente la línea editorial ni postura de El Mostrador.

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