Aclaración matemática: todos los mapas del mundo son incorrectos

Lamentablemente, las desmedidas ansias de aumentar la visibilidad de las notas de divulgación han llevado al extremo de “contaminar” episodios que, si bien son dignos de elogio, aparecen presentados de manera distorsionada en la prensa. Tal es el caso del mapa mundial propuesto recientemente por el japonés Hajime Narukawa, respecto del cual se mencionó erróneamente que “refleja fielmente las proporciones entre regiones y países” y “resuelve el espinoso problema de proyectar un planeta esférico a un mapa plano”.

Para su confección, Narukawa dividió el globo terrestre en 96 regiones de igual área y las proyectó sobre un tetraedro, el cual una vez “abierto” y dispuesto de forma rectangular origina el mapa. Hasta aquí nada es cuestionable. De hecho, la idea es muy original, y el producto final excelente. No es de extrañar entonces que, por este trabajo, Narukawa haya obtenido uno de los galardones más prestigiosos de diseño en Japón, el Good Design Award, concedido por el Instituto Japonés de Promoción del Diseño.

El punto conflictivo radica en la forma en que fue presentada la noticia en diversos medios. En efecto, decir que este o cualquier otro mapa constituye una representación fiel del globo terrestre es simplemente una aberración, para cuya constatación hubiese bastado una simple visita a Wikipedia. Allí se señala clara y categóricamente que la existencia de un “mapa perfecto” entraría en contradicción con uno de los resultados más importantes de la matemática: el teorema egregium.

Estudiar la geometría de las superficies no es tarea sencilla. Para ello, los viejos métodos de la geometría del plano aprendidos en la escuela no resultan suficientes, y se requiere del uso del cálculo diferencial. En este camino, un concepto fundamental es el de la curvatura. Instintivamente, tendemos a decir que una superficie está “curvada” si no puede ser extendida sobre un plano. Así, por ejemplo, un cilindro o un cono no están curvados, pues al abrirlos apropiadamente se desenrollan a la perfección. Sin embargo, esto se hace imposible con un balón o con la campana de una trompeta: sin importar dónde ni cuántas veces los cortemos, nunca será posible extender una porción de ellos en el plano.

Ahora bien, el “tipo” de curvatura de un balón es ciertamente distinto al de la campana de la trompeta. El primero se curva “hacia adentro”, esto es, en cada posición, todas las direcciones apuntan en el mismo sentido. La segunda, en cambio, se curva “hacia afuera”, esto es, en cada posición hay algunas direcciones que apuntan en un sentido y otras que apuntan en el sentido contrario.

En el primer caso, la curvatura es positiva, mientras que en el segundo es negativa. Pero esto está lejos de ser una simple convención de signos, pues la curvatura es un número perfectamente bien definido mediante el cálculo infinitesimal.

Así, la curvatura de cualquier punto de un plano, un cilindro o un cono es igual a cero, mientras que la de los puntos de un balón es igual al inverso del cuadrado de su radio. De esta forma, mientras más grande es el balón, menos curvado está (esto explica por qué nuestro planeta es “casi plano”: se debe, simplemente, a su gran tamaño). En cuanto a la campana de la trompeta, su curvatura ciertamente dependerá del modelo específico, pero hay uno en particular que es geométricamente muy elegante (aunque no de mucho interés musical). Se trata de aquel en que todo punto tiene curvatura exactamente igual a -1 y cuya superficie, por analogía, es llamada “pseudoesfera”.

Karl Gauss, uno de los más brillantes matemáticos de la historia (apodado no sin razón “el príncipe de las matemáticas”) demostró en 1825 que si una transformación de una superficie en otra preserva todas las distancias y proporciones, entonces las curvaturas de ambas superficies deben ser iguales. Tan maravillado quedó con este resultado, que lo bautizó como “teorema egregium” (el “teorema excelente”).

Y Gauss tenía todo el derecho a estar feliz y orgulloso, pues, más allá del descubrimiento mismo, este lo llevó a imaginar nuevas geometrías –en especial, geometrías de curvatura negativa–, hasta ese entonces inimaginables para el ser humano. Lamentablemente, dado el carácter extraordinariamente reservado del meticuloso Gauss, quien además no quería entreverarse en una discusión con la comunidad filosófica (sus ideas desacreditaban en buena parte la “teoría de la naturaleza” de Immanuel Kant), muchos de sus trabajos nunca fueron publicados, y solo fueron descubiertos entre sus escritos con posterioridad a su muerte.

Un aspecto sumamente interesante es que Gauss llegó a su teorema egregium no solo como resultado de una investigación teórica en matemática de vanguardia, sino también motivado por una necesidad muchísimo más concreta. En efecto, el gobierno prusiano le había encomendado importantes tareas de geomensura. Así, mientras elaboraba las respectivas cartas geográficas, comenzó a tomar conciencia de que, mientras más territorio estas abarcaban, mayor distorsión iban exhibiendo.

De este modo, gracias a la genialidad de Gauss y su teorema egregium, sabemos que transformar una esfera en un plano preservando las distancias es sencillamente imposible, pues sus curvaturas son diferentes. Por lo tanto, nunca existirá un mapa perfecto de la Tierra.

Ciertamente, el viejo y popular mapa de Mercator admite mejoras que permiten corregir, entre otros aspectos, la excesiva distorsión de las regiones próximas a los polos (como Groenlandia o todo el continente Antártico). Pero, necesariamente, esto involucrará nuevas imprecisiones en otras regiones. Por ejemplo, si se observa con atención el mapa de Narukawa, se constatará que el posicionamiento de varias partes del globo (en especial, África) es bastante incómodo. De alguna forma, lo que hace esta carta geográfica es “distribuir” la distorsión de manera más equilibrada, pero –repetimos una vez más– no es perfecta, y ningún mapa puede serlo.

Así que ya lo sabe: si desea una representación fidedigna de la Tierra, tenga claridad de que siempre lo mejor será invertir en un globo terráqueo. Definitivamente, vale la pena.

Lamento, con esta nota, desencantar a muchas personas que habían reaccionado entusiastamente frente al anuncio –entre otros medios– de la BBC, y habían compartido la noticia del mapa de Narukawa en las redes sociales. Pero así como en ciencia se trabaja incansablemente en la búsqueda de la verdad, la prensa de divulgación científica debiese velar por que este aspecto prime en sus contenidos, y que no sea el número de “likes” en Facebook el aspecto decisivo sobre un artículo.

No siempre la verdad es lo más popular.