CULTURA|OPINIÓN
Del número Pi hay numerosa literatura, incluso recientemente apareció su autobiografía. En esta reseña queremos celebrar, en el contexto del mes de la Matemática, a este otro célebre número trascendente: el número de Euler e. Contaremos parte de su historia y explicaremos parte de su naturaleza.
Marzo es el mes de la Matemática. Cuenta la historia que el 14 de marzo de 1988 el Físico norteamericano Larry Shaw, fallecido en 2017, inició el Día de Pi con el objetivo de celebrar a tan famoso número y a la Matemática en general. El día fue elegido pues en el formato estadounidense el 14 de marzo se anota 3/14, que corresponde a los primeros dígitos de Pi.
El número Pi (Fig.1) captura la razón entre el perímetro y el diámetro de cualquier circunferencia. Ha fascinado a la humanidad desde culturas tan antiguas como la egipcia o griega, entre muchas otras. ¡Arquímides calculó una de las primeras buenas aproximaciones conocidas de él!
Además de ser un número irracional, es decir, que no puede ser escrito como una fracción, Pi es un número trascendente. Aunque Pi se conoce y estudia desde varios siglos antes de Cristo, su irracionalidad fue probada en la década de 1760 por Johann Heinrich Lambert. Su naturaleza trascendente se demostró un poco más de un siglo después de ello, en 1882 por Ferdinand von Lindemann, después de que Charles Hermite demostrara la trascendencia de otro número importante, aunque menos popularizado que Pi, el número e. De hecho, von Lindemann utilizó argumentos similares a los de Hermite en la prueba de trascendencia para e.
Del número Pi hay numerosa literatura, incluso recientemente apareció su autobiografía [1]. En esta reseña queremos celebrar, en el contexto del mes de la Matemática, a este otro célebre número trascendente: el número de Euler e. Contaremos parte de su historia y explicaremos parte de su naturaleza.
El 1 de julio de 1873, en el Comptes rendus Mathematique de l’Académie des Sciences de Francia [3], Charles Hermite reportaba su resultado sobre la trascendencia del número de Euler e. En 1874 sus resultados aparecieron todos en conjunto bajo el título “Sur la fonction exponentielle” [4], ver Fig. 2. En consecuencia, este 2023 se cumplieron 150 años desde que se conoce la profunda naturaleza de e: es un número irracional trascendente.
Un número se dice irracional si no puede ser expresado como una fracción a/b números enteros a y b, donde el denominador b es distinto de 0. Es decir, si no es racional. La existencia de tales números puso de cabeza a las y los Pitagóricos (escuela de Pitágoras). Hay números muy simples que son irracionales: raíz de dos, raíz de siete etc. (éstos no son trascendentes).
Un número es trascendente si no es algebraico. Es decir, si no es solución de una ecuación polinomial con coeficientes enteros. O sea, no es solución de una ecuación como la que se muestra en la Fig. 3.
Lo cierto es que hay infinitos números irracionales, muchos de ellos son algebraicos, pero los más son trascendentes.
En un sentido que pronto precisaremos, decimos: hay más números irracionales que racionales y tantos números irracionales algebraicos como números racionales. De hecho, hay tantos racionales como enteros. Aunque nuestra intuición nos haga pensar que no es así.
Para aclarar el trabalenguas anterior, debemos hablar con más precisión: Los números enteros son lo que llamamos un conjunto numerable. Esto quiere decir, que los podemos contar (eternamente) asignando un número natural distinto (1,2,3, 4, etc-sin-fin) a cada número entero, vea la Fig. 4 para imaginar cómo se puede contar a los números enteros.
Contar puede ser un asunto complicado. Podemos decir que dos equipos de voleibol tienen la misma cantidad de jugadores porque los contamos, o porque formamos una jugadora frente a la otra. O bien, ¿cómo sabemos que tenemos la misma cantidad de dedos en cada mano? Porque contamos 1,2,3,4,5 o porque ponemos una frente a la otra, haciendo coincidir los dedos. Formalmente, el concepto de función nos ayuda a contar lo infinito por comparación.
La función de la Fig. 5 es la correspondencia uno a uno entre los números enteros y los naturales dibujada en la Fig. 4.
Así, podemos decir que el conjunto de números enteros y el de números naturales tienen la misma cantidad de elementos o el mismo cardinal: infinito numerable. Se usa una letra especial para denotar este infinito dibujada en la Fig. 6 y llamada “Aleph Cero”.
El conjunto de números racionales, o sea el conjunto de números escribibles como fracción, también es numerable. Es decir, tiene también cardinalidad Aleph cero. Es decir, existe una correspondencia uno a uno, análoga a la de la Fig. 4, entre el conjunto de números racionales y los naturales, pero dejaremos al lector investigar sobre ello.
Por otro lado, el conjunto de los números reales, que corresponde a la unión de los números racionales e irracionales, es infinito no numerable. Esto fue demostrado por Georg Cantor a fines del siglo XIX, usando una técnica ahora conocida como argumento de la diagonal de Cantor. En consecuencia, el conjunto de números irracionales es también no numerable. Dicho conjunto, está constituido por el conjunto de los números irracionales algebraicos, que es infinito numerable, y el conjunto de los números irracionales trascendentes, que es entonces un conjunto infinito no numerable.
Esta es la razón que nos permite decir que hay más números de esa naturaleza: irracionales trascendentes.
Aun siendo tantos, muy pocos números trascendentes se han dejado identificar. El primero, ahora llamado la constante de Liouville [6], fue atrapado por Joseph Liouville en 1844 y es el siguiente:
0,1100010000000000000000010…
Para construirlo se pone un 1 en la posición decimal que corresponde al factorial de un número y un cero en las otras. Recordamos que el factorial de un número natural n, que se anota n!, es el producto de éste y sus antecesores hasta llegar al 1. Es decir,
n!=n*(n-1)*(n-2)*…*1.
Por ejemplo, 1!=1, 2!=2*1=2, 3!=3*2*1=6, 4!=4*3*2*1=24 y así.
No deja de ser curioso que siendo los números trascendentes los más, sea tan difícil atraparlos o demostrar que un número real lo es.
Volviendo al número e, fue así nombrado por Leonhard Euler, aunque también era conocido por otros matemáticos de la época. Euler lo estudió profundamente: en 1737 probó que es irracional y en 1748 calculó 18 de sus decimales:
e = 2,718281828459045235…
Tomó más de 130 años conocer su naturaleza de irracional trascendente.
Una forma de entender el número e es como el límite al infinito de la sucesión de números reales de la forma (1+1/1)^1=2, (1+1/2)^2=2.25, …, (1+1/n)^n cuando n crece sin parar. En Matemática hay una forma de anotar este límite, vea la Fig. 7.
Un ejercicio entretenido, use calculadora o una planilla de cálculo en un computador, es reemplazar diferentes valores de n=1,2,3,… y ver cómo progresa esta sucesión. Verán que está siempre entre 2 y 3 y que se acerca cada vez más al número 2,718… De ahí el uso de la palabra límite.
El número e, y la función exponencial asociada, se usa, por ejemplo, para modelar crecimiento o decaimiento de una cantidad en el tiempoAparece así en física (decaimiento radiactivo), química (reacciones), biología (dinámica de poblaciones), economía (interés compuesto) y continúa apareciendo en los más diversos escenarios. El trabajo de Hermite para conocer la naturaleza de e dio pistas para entender la de Pi.
Hermite fue un matemático profundo, perseverante y brillante. Fue guía de 10 doctorantes, Henri Poincaré entre ellos, y tiene, a la fecha, 9984 descendientes [5]. La historia de e, y su influencia en la comprensión de Pi, es un ejemplo del trabajo colectivo y colaborativo de la humanidad, a lo largo de siglos, que permite desarrollar y descubrir la Matemática.
Créditos:
Figuras y dibujos realizados por las hijas de la autora: Lía y Tiê Da Silva Rojas.
Referencias.
