Fútbol y matemáticas: una ecuación que sorprende

A propósito del mundial de Rusia que terminó hace poco, una coincidencia relaciona este evento con las matemáticas: precisamente los años que se celebra la copa del mundo también se lleva a cabo el “mundial de las matemáticas”. Se trata del Congreso Internacional de Matemáticas (ICM), que si bien no es una competencia, sí es el más importante acontecimiento internacional de esta ciencia y, al igual que el mundial de fútbol, tiene lugar cada cuatro años. Este año será la primera vez que se realice en Latinoamérica: tendrá lugar en Río de Janeiro del 1 al 8 de agosto.

En el ICM se reúnen matemáticas y matemáticos de variados países del mundo, y se hace entrega de la medalla Fields, uno de los principales premios a los grandes descubrimientos en las matemáticas. También se reúnen en asamblea organismos de distintos países para planificar acciones de cooperación internacional. La comunidad de investigadores en matemática que trabajan en el país es representada ante la Unión Matemática Internacional por la Sociedad de Matemática de Chile (SOMACHI), y en este congreso se presenta con el expediente de poseer la más alta producción científica per cápita (número de artículos científicos por cada millón de habitantes en los últimos cinco años) en Latinoamérica.

Pero más allá de coincidencias de fechas, el fútbol y la matemática tienen muy interesantes puntos de encuentro que han sido señalados por científicos y divulgadores. Podemos recordar un análisis del distinto número de figuras con las que se puede cubrir un balón y la consecuente explicación de errores en algunos diseños, las bellas propiedades matemáticas  del balón de Brasil 2014, la ciencia de los datos aplicada al fichaje de jugadores, e incluso una peculiar idea para ayudar a los escolares a realizar operaciones. Sobre todo, al lector le será familiar el uso de la estadística y las probabilidades en el fútbol, cuyo uso, por cierto, no garantiza salvarse de las sorpresas: aun si Brasil y Alemania tenían altas probabilidades de llegar a la final en Rusia, ambos se quedaron lejos de la meta, mientras que Croacia llegó a la final por primera vez. Sin duda, sorpresas como estas hacen al fútbol tan especial y entretenido.

Pues bien, podemos decir que una profunda semejanza entre las matemáticas y el fútbol es justamente la capacidad de sorprender. Esto puede parecer extraño, dada la fama que tiene tal ciencia de ser exacta. Sin embargo, me refiero a la creación de nuevas matemáticas, a su desarrollo como ciencia por medio del trabajo diario de todas las personas que nos dedicamos a ella. Así como el lector recordará resultados deportivos que se dieron contra todo pronóstico o desafiando la lógica, en el desarrollo histórico de la matemática se han dado muchos ejemplos que podemos calificar como golazos, descubrimientos que causaron fascinación o incluso consternación. Veamos algunos de ellos.

Hace 2.500 años, los filósofos y matemáticos griegos creían firmemente que el pilar del universo está formado por los números. Siendo que éstos surgieron para contar y medir, los griegos conocían bien los números enteros y racionales (fracciones de enteros). Pues un buen día, Hípaso de Metaponto no tuvo mejor idea que tratar de medir la diagonal de un cuadrado unitario, usando el teorema descubierto por Pitágoras, su maestro. No se resignó a obtener un valor aproximado, sino que buscó la fracción exacta a la que correspondía tal longitud. No tuvo éxito en ello, pero lo más importante es que en algún momento se le ocurrió que tal longitud no estaba dada por un número conocido: logró demostrar que tal valor no es expresable como una fracción de enteros. Este hecho le significó una tarjeta roja directa: sus compañeros de la escuela pitagórica vieron como una transgresión insoportable que algo tan sencillo como la diagonal de un cuadrado no fuera una fracción. Sucede que Hipaso murió en un naufragio, y algunas fuentes señalan que fue ahogado por sus propios compañeros, o incluso por el mismo Pitágoras, para mantener en secreto el terrible descubrimiento. Con el tiempo, los números irracionales fueron comprendidos e incorporados al conocimiento matemático.

Aún en Grecia, pero dos siglos después de Pitágoras, otro matemático se encargó de organizar todo lo que se sabía de geometría, sentando las bases en una lista de axiomas, las reglas del juego, a partir de las cuales se desprenden todos los demás resultados. Se trataba de Euclides, y su trabajo se conoce como la axiomatización de la geometría. Resulta que uno de sus axiomas fue duramente resistido a través de la historia: el quinto postulado, que habla de la existencia de líneas paralelas.

Con el tiempo, se fue afianzando un pronóstico definitivo: el axioma número cinco se debería demostrar a partir de los restantes. Los matemáticos jugaron por siglos bajo tal premisa, tratando de probar el quinto postulado, siempre de manera infructuosa. Ya en el siglo XVIII, este fracaso se conocía como el escándalo de la geometría moderna.

Gauss, el célebre matemático alemán, fue el primero en convencerse que el quinto axioma era independiente de los otros cuatro, y se le ocurrió la jugada maestra de analizar qué ocurre ante la negación del postulado. Llegó a interesantes resultados, muchos de los cuales no publicó, quizá para no causar controversia con el pensamiento dominante en la época: la geometría tenía que ser euclidiana (es decir, seguir los axiomas mencionados) “como el mundo real”.

János Bolyai,  matemático húngaro, llegó a resultados similares, pero fue el ruso Nikolai Lobachevsky quien por primera vez estableció un modelo de geometría no euclidiana, que alcanzó su completa aceptación cuando fue utilizado como base matemática de la teoría de la relatividad. Hoy es bien conocida la clasificación de las geometrías con respecto a la existencia de paralelas, y un caso no euclidiano se manifiesta en la geometría del planeta (pensado como una esfera): si extendemos indefinidamente dos lados opuestos de una cancha de fútbol, éstos terminarán por encontrarse, al contrario de lo que pasa con dos paralelas en un plano. En efecto, sobre una esfera, el análogo de línea recta está dada por diámetros máximos (curvas como el ecuador o los meridianos), pues éstas son las trayectorias de mínima distancia, y cada par se intersecta en dos puntos, por ejemplo en los polos: en la geometría esférica no existen las paralelas.

Otro resultado inesperado fue el obtenido tras el trabajo, a finales del siglo XIX y principios del XX, de la axiomatización de la aritmética, análogo al de la geometría ya relatado. Cantor y Fregue fueron algunos de los matemáticos que trabajaron en este problema, estableciendo tratados sobre los fundamentos de las matemáticas. Por ahí del año 1902, Bertrand Russell encontró una infracción a la lógica en tales trabajos, en una paradoja de tarjeta amarilla. Ésta puede ser explicada por medio de una analogía con el lenguaje: una palabra es autológica si ella se aplica a sí misma, y heterologica si no lo hace. Por ejemplo, “esdrújula” es autológica, y en cambio “monosilábica” es heterológica. Pregúntese el lector: ¿la palabra ”heterológica” es heterológica? Si lo fuera, no se aplicaría a si misma y por tanto debería ser autológica. Si no lo fuera, se aplicaría a sí misma y entonces debería ser heterológica. ¡Estamos en fuera de lugar ante cualquier opción! Esta es la paradoja de Grelling-Nelson, equivalente a la  conocida paradoja del barbero.

El origen de este tipo de sinsentidos reside en lo problemático de definir conjuntos que se contienen a sí mismos. Un verdadero gol a la intuición. Russell se dio cuenta de estos problemas y trató de remediarlos usando complicados métodos en su célebre Principia Mathematica (recomiendo al lector el maravilloso relato de esta historia de la novela gráfica Logicomix). De todas formas, la máxima conmoción estaba aún por llegar: Kurt Godel probó en 1931 que en todo sistema lógico complejo existían afirmaciones que no se podían demostrar, es decir, es incompleto. Este resultado echó por tierra la meta de Frege y Russell de establecer un sistema lógico que contenga la aritmética. Por supuesto, esto no detiene el avance de las matemáticas, pero proporciona un rayado de cancha algo desconcertante.

Hablando de resultados fascinantes, imposible dejar fuera al Teorema de Fermat,  quizá el problema matemático más famoso de la historia. Planteado por Fermat en 1637, establece que la ecuación xn +yn=zn no posee soluciones enteras si n es mayor que dos. Fue demostrado por Andrew Wiles en 1995, usando herramientas matemáticas que no existían en tiempos de Fermat. En el intermedio hubo muchos avances en su demostración, uno de los más importantes el de Sophie Germain, matemática francesa de principios del siglo XIX, que estudió de manera autodidacta, dada la imposibilidad de las mujeres de asistir a clases en la recién creada Ecole Polytechnique. Leyó por su cuenta los trabajos de Lagrange y Gauss, y luego mantuvo correspondencia con ellos bajo el seudónimo de Monsieur Le Blanc. Fue la primera persona que ideó un plan para demostrar el Teorema de Fermat. Más allá de probar casos particulares, su enfoque era más cercano a la idea moderna de usar argumentos generales. Aún cuando el plan no funcionó totalmente, sentó las bases de las teorías que vendrían. Sophie Germain también trabajó en las matemáticas de la elasticidad y fue la primer mujer aceptada en la Academia de Ciencias de Paris. Una triste sorpresa fue su exclusión de la lista de 72 nombres de científicos inscritos en la Torre Eiffel, cuya construcción, irónicamente, habría sido imposible sin sus trabajos sobre elasticidad.

¿Qué sorpresas están por venir? Muchas. Cada día se demuestran viejos problemas y surgen otras preguntas, por lo que la emoción está garantizada. Sobre desafíos aún sin resolver, podemos recordar la Hipótesis de Riemann, relacionada con la distribución de los números primos, y cuya demostración es quizá el más famoso problema matemático abierto, con recompensa de un millón de dólares; o bien la Conjetura de Collatz, un problema bastante menos famoso pero muy sencillo de plantear (instamos al lector a que consulte al respecto, o vea este video). Resulta asombroso pensar que problemas como estos no se hayan demostrado, pero ya hemos visto que las matemáticas deparan inesperadas sorpresas.  Y por supuesto, el fútbol también.